Considera-se o problema de Cauchy $$ \begin{eqnarray} \dot{\mathbf{x}} &= &A\mathbf{x}\\ \mathbf{x}(t_0)&=&\mathbf{x}_0 \end{eqnarray}$$ Usando a exponencial de matrizes pode-se expressar a única solução deste problema como $$ \varphi(t,t_0,\mathbf{x_0})= \exp{(t-t_0)A}\mathbf{x}_0$$
Seja $v(t)$ uma função integrável em todo intervalo compacto. Toma-se o seguinte problema de Cauchy: $$ \begin{eqnarray} \dot{\mathbf{x}} &= &A\mathbf{x} + v(t)\\ \mathbf{x}(t_0)&=&\mathbf{x}_0 \end{eqnarray}$$ O método da variação das constantes fornece a solução deste problema: Define-se: $$ \mathbf{y}(t) = \exp{(t_0-t)A }\mathbf{x}(t)$$ então $$ \dot{\mathbf{y}}(t) = -A\exp{(t_0-t)A} \mathbf{x}(t) + \exp{(t_0-t)A} \dot{\mathbf{x}}(t)=\exp{(t_0-t)A)}\left(\dot{\mathbf{x}}-A\mathbf{x}\right) = \exp{(t_0-t)A}v(t)$$ o segundo membro pode-se integrar diretamente:
$$ \mathbf{y}(t) = \mathbf{y}(t_0) + \int_{t_0}^t\exp{(t_0-s)A}v(s)ds $$donde finalmente obtemos a solução
$$ \varphi(t,t_0,\mathbf{x_0})= \exp{(t-t_0)A}\mathbf{x}_0 + \int_{t_0}^t\exp{(t-s)A}v(s)ds $$$\mathbb{R}^n$ é o espaço de estados.
$\mathbb{R}^m$ é o espaço de entradas.
$\mathcal{U} = \{ u: \mathbb{R} \to \mathbb{R}^m, \text{ localmente integráveis. }\}$. é o espaço dos controles admissíveis.
A dinâmica de um sistema linear é dada por:
$$ \begin{eqnarray} \dot{x} = Ax + Bu(t) \end{eqnarray}$$A função de transição de estados é dada por $$ \varphi(t,t_0,x_0,u(\cdot)) = \exp{(t-t_0)A}x_0 + \int_{t_0}^t \exp{(t-s)A}Bu(s)ds $$