Součet harmonických složek

Mějme následující časový průběh:

$$ u(t)=\frac{8}{\pi^2} \cos(\omega t - {\pi\over 2}) + \frac{8}{(3\pi)^2} \cos(3\omega t +{\pi\over 2}) + \frac{8}{(5\pi)^2} \cos(5\omega t -{\pi\over 2})+ \frac{8}{(7\pi)^2} \cos(7\omega t+{\pi\over 2}) + \dots$$

Časové průběhy

vytvoříme jednotlivé harnonocké složky

In [1]:
t=linspace(0,1,1000)
u1=8./pi/pi*cos(2*pi*1*t-pi/2)
u3=8./3/3/pi/pi*cos(2*pi*3*t+pi/2)
u5=8./5/5/pi/pi*cos(2*pi*5*t-pi/2)
u7=8./7/7/pi/pi*cos(2*pi*7*t+pi/2)

vykreslíme jednotlivé harmonické složky

In [2]:
figure(figsize=(10,7))
plot(t,u1)
plot(t,u3)
plot(t,u5,t,u7)
minorticks_on()
matplotlib.ticker.AutoMinorLocator(9)
xlabel(r'$\rightarrow$ \\t [s]',fontsize=16, x=0.9 )
ylabel(r'u [V] $\uparrow$',fontsize=16, y=0.9, rotation=0)
grid(True, 'major', linewidth=1)
grid(True, 'minor', linewidth=0.5)
  • Vykreslíme celkový časový průběh
In [3]:
u=u1+u3+u5+u7

figure(figsize=(10,7))
plot(t,u,linewidth=2)
minorticks_on()
xlabel(r'$\rightarrow$ \\t [s]',fontsize=16, x=0.9 )
ylabel(r'u [V] $\uparrow$',fontsize=16, y=0.9, rotation=0)
grid(True,'both')

Vydíme, že složením několika napětí tvaru funkce sinus dostáváme tvar trojúhelníku -- tedy lineární funkce.

Amplitudové spektrum

In [4]:
U= 8./pi/pi, 8./pi/pi/3/3 , 8/pi/pi/5/5 , 8./pi/pi/7/7
f=(1,3,5,7)
figure(figsize=(10,5))
stem(f,U,markerfmt='o' )
xlim((0,8))
xticks(arange(0,8))
minorticks_on()
xlabel(r'$\rightarrow$ \\f [Hz]', x=0.9 )
ylabel('U [V] $\uparrow$',fontsize=16, y=0.9, rotation=0)
title(u'Amplitudové frekvenční spektrum')
grid(True)

Fázové spektrum

In [5]:
figure(figsize(10,5))
fi= 2 * ( -pi/2, pi/2 )
stem(f,fi, basefmt='k.')
xlim(0,8)
yticks((-pi,-pi/2,0,pi/2, pi),(r'$-\pi$',r'$-{\pi \over 2}$', '0', r'{$\pi \over 2$}', r'$\pi$') )
xlabel(r'$\rightarrow$ \\f [Hz]', x=0.9 )
ylabel(r'$\varphi$ [rad] $\uparrow$',fontsize=16, y=0.9, rotation=0)
title(u'Fázové frekvenční spektrum')
grid(1)
In [6]:
U= 8./pi/pi, 8./pi/pi/3/3 , 8/pi/pi/5/5 , 8./pi/pi/7/7
fi= 2 * ( -pi/2, pi/2 )
f=(1,3,5,7)


figure(figsize=(10,8))
subplot(211)

stem(f,U,markerfmt='o' )
xlim((0,8))
xticks(arange(0,8))
minorticks_on()
xlabel(r'$\rightarrow$ \\f [Hz]', x=0.9 )
ylabel('U [V] $\uparrow$',fontsize=16, y=0.9, rotation=0)
title(u'Amplitudové frekvenční spektrum')
grid(True)

subplot(212)

stem(f,fi, basefmt='k.')
xlim(0,8)
yticks((-pi,-pi/2,0,pi/2, pi),(r'$-\pi$',r'$-{\pi \over 2}$', '0', r'{$\pi \over 2$}', r'$\pi$') )
xlabel(r'$\rightarrow$ \\f [Hz]', x=0.9 )
ylabel(r'$\varphi$ [rad] $\uparrow$',fontsize=16, y=0.9, rotation=0)
title(u'Fázové frekvenční spektrum')
grid(1)