アロメトリー則 ($E\sim M^{3/4}$)
ホヤの実験によるシステムサイズと代謝率の関係
会議やグループワークの参加人数と効率の関係
一般化
系のシステムサイズが大きくなると、その特徴量が
単純に比例して大きくはならず、相互作用等によって
それよりも小さくなるような系
アプローチ
$\Rightarrow$結ばれた点同士のネットワーク + $X$をノードとした(有向)ネットワーク
$X_{i}$を選び、次に点($x\in [0, 1]$)をその中から一様に選ぶ
過去の点を参照して次の点$x$を選ぶ。$X_{i}$は自動的に決定される
いくつかのルールについて、そのシミュレーション・解析の概要を示す
条件:
結果:
二項分布$B(k, p(r)=-r^{2}+2r)$に従う
$k$番目の点の次数の期待値は$(-r^{2}+2r)k$
$\Rightarrow$ システムサイズ$N$との関係は考えられない
一様な確率で$[0,1]$から点が選ばれるとき、
その点が$[\max(0,x-r), \min(x+r,1)]$の範囲に入っている確率は、
確率密度関数を用いて、
から
$$p(x,r)= \left\{ \begin{array}{ll}x+r & 0\le x< \min(r,1-r) \\ p(r) = \min(2r, 1) & \min(r, 1-r)\le x \le \max(1-r, r) \\ 1 - x+r & \max(1-r, r) < x \le 1 \end{array}\right.$$$0<r\le0.5$のとき
$$\begin{align}p(r) = E(p(x, r)) &= \int^{r}_{0}x+r\mathrm{d}x + \int^{1-r}_{r}2r \mathrm{d}x + \int^{1}_{1-r} 1-x+r \mathrm{d}x\\ &= \left[\frac{x^{2}}{2} + rx \right]^{r}_{0} + \left[ 2rx\right]^{1-r}_{r}+ \left[ x-\frac{x^{2}}{2} + rx\right]^{1}_{1-r}\\ &= -r^{2} + 2r \end{align}$$$0.5<r\le1$のときも同様にして
$$p (r) = E(p(r)) = -r^{2} + 2r$$である。
$x_{k+1}$が選ばれたとき
$k$番目までに選ばれた点のうち$y$個が
領域$[\max(0,x-r), \min(x+r,1)]$の中に存在する確率、
すなわち時刻$k+1$でエッジが$y$本張られる確率は、
で表せる。これは
$$P[Y=y] =\ _{k}C_{y}p(r)^{y}(1-p(r))^{k-y}$$のように書けば明らかなように、
確率変数$Y$に対するパラメータ$k,p$の二項分布$B(k,p)$を表しているから、
その期待値と分散は、
$\Rightarrow$選ばれた点$x$によるネットワークは全く同一の性質
シミュレーションの1例を示す($r=1/3$)。
緑の領域: 計算によって得られた偏差
$$\begin{align} \sigma_{l} &= \sqrt{(-r^{2} + 2r)(1+r^{2}-2r)k} \\ &= \sqrt{(-r^{4} + 4r^{3} - 5r^{2} + 2r)k} \end{align}$$$\Rightarrow$マルコフ連鎖(説明は割愛)
設定:
次の$X_{j}$について同様の操作を行う
時刻を1進めて同じ操作を繰り返す
$X_{i}$まで順番が回ってくる確率は
$$p_{i}(r+1) = \frac{\sum_{J = \langle j_{0}, \cdots ,j_{r-1} \rangle _{r}}\prod_{j\in J}(1-P_{j})}{_{n-1}C_{r}}.$$$J = \langle j_{0}, j_{1}, \cdots ,j_{r-1} \rangle_{r}$は、$i$を除く$n-1$個の要素から $r$個選んだときの組み合わせのうちの1揃いをあらわす
具体例:
$N = 5$, $i = 1$, $r = 2$とすると、$X_{1}$までに2つの$X$があり、その組み合わせは$(0,2)$, $(0,3)$, $(0,4)$, $(2,3)$, $(2,4)$, $(3,4)$の6つの組み合わせがある。上の式では$J$の一つは$(0, 2)$であり、このとき$j_{0} = 0, j_{1} = 2$である。この$J$に関して和をとり、組み合わせの数$\ _{4}C_{2} = 6$で割って期待値を求めている。
$$\begin{align} p_{i}(r+1) &= \left[(1-P_{0})(1-P_{2}) + (1-P_{0})(1-P_{3}) + (1-P_{0})(1-P_{4}) \right.\\ &\ \left. + (1-P_{2})(1-P_{3}) + (1-P_{2})(1-P_{4}) + (1-P_{3})(1-P_{4}) \right]/6 \end{align}$$$\Rightarrow$ $X_{i}$が$r$番目となる確率は等しい
$\Rightarrow$単純な確率過程に帰着
$\Rightarrow$ $a$次元ユークリッド距離
$$\begin{align}D(x, y) &= d(x,y)\\ &= \sqrt{(x_{1} - y_{1})^{2} + (x_{2} - y_{2})^{2} + \cdots + (x_{a} - y_{a})^{2}}\end{align}$$1つの点のまわりの直径$r$による面積の期待値から、係数の絶対値は$0.5$より大きい $$\frac{1}{2}r^{4} - \frac{3}{8}r^{3} + \pi r^{2} \sim r^{c},\ \ c < 2\ \ \ \text{when}\ \ 0<r<0.5 $$ $$1 \sim r^{c}N \Rightarrow r \sim N^{-1/c},\ \ \ \frac{1}{c} > 0.5 $$
1つの点を領域$\Omega=[0,1]\times [0,1]$から一様に選んだとき、
その点のまわりに長さ$r$によって作られる領域の面積の期待値
選んだ点が領域の中心付近では$\mathcal{S} = \pi r^{2}$とできるが、
領域$\Omega$の境界にかかっている場合には、それよりも小さい値となる。
それぞれの領域で積分を実行し、その結果を足せば
任意の点を選んだときの面積の期待値が得られる。
$\Rightarrow$ ステップ間角度の平均値は小さくなる
偏差はcaseに依らず50°程度
作成したそれぞれのモデルについて解析を行った
システムサイズに関してベキ的に変化するような量を観察することができた
閾値$r$より近い位置にある点をすべてクラスター化し、
クラスターを単位として確率的な時間発展を見る
$\Rightarrow$ 点の密度小 $\rightarrow$ 点間距離増大(これまでと同じ理由)
$\Rightarrow$ 点の密度大 $\rightarrow$ クラスター化促進 $\rightarrow$ クラスター間距離増大
Geoffrey West, James Brown, Brian Enquist, A General Model for the Origin of Allometric Scaling Laws in Biology, Science, Val.276, No.5309, pp.122-126, 1997.
C. R. White, P. Cassey, T. M. Blackburn,
Allometric exponents do not support a universal metabolic allometry, Ecology, 88(2), 315-323 (2007).
Curvature in metabolic scaling, Nature L, 464, 753-756 (2010)
Interspecific allometries are by-products of body size optimization, The American Naturalist, 149(2) (1997).
Life's universal scaling laws, Physics Today, 57, 36-49 (2004).
The ¾ mass exponent for energy metabolism is not a statistical artifact, Respiration Physiology, 52, 149-163, (1983).
The origin of allometric scaling laws in biology from genomes to ecosystems towards a quantitative unifying theory of biological structure and organization, The Journal of Experimental Biology, 208, 1575-1592 (2005).
The predominance of quoter-power scaling in biology, Functional Ecology, 18, 257-282 (2004).
本川 達雄, 「ホヤ―群体形成と自己組織化」, 『自己組織化ハンドブック』, 330 - 331, 2009.
石川 正純・足立 にれか・岡本 浩一,
会議分析のための数値シミュレーション技法-組織内集団に見られる意思決定モデルの開発-, 社会技術研究論文集, 2004.
多人数会話における自発的ジェスチャーの同期, Congnitive Studies, 16(1), 103-119, 2009.
小集団の会話の展開に及ぼす会話者の発話行動傾向の影響, The Japanese Journal of Experimental Social Psychology, 47(1), 51-60, 2007.
集団討議の参加者の人数が集団決定および個人決定に及ぼす影響について, 人間科学, 1, 67-84, 1998.
シミュレーションによる確率論, 日本評論社, 137-143, 1993.