Sejam $(A,B)$ matrizes e $T>0$. $A \in \mathbb{M}_{n\times n}$ e $B \in \mathbb{M}_{n\times m}$.
$\mathcal{L}(u(\cdot))=\int_0^T \text{e}^{(T-s)A}Bu(s)ds$
$Q_{T}=\int_{0}^T \text{e}^{sA}BB^\prime\text{e}^{sA^\prime}ds$
$\mathbf{L}(u_0, \cdots , u_{n-1})= Bu_0 + \cdots + A^{n-1}Bu_{n-1} = \sum_{k=0}^{n-1} A^kBu_{k}$
$(A,B)$ é controlável se, e somente se, $\text{Im}(\mathcal{L})=\mathbb{R}^n$.
$(A,B)$ é controlável se, e somente se, $ \text{ker}Q_T = \{ 0 \}$
$\text{ker}Q_T = \text{Im}(\mathcal{L})^\perp$
Teorema $\text{ker}Q_T = \text{Im}(\mathbf{L})^\perp$
$\text{Im}\mathcal{L} =\text{Im}\mathbf{L}$
A matriz de representação de $\mathbf{L}$ é a matriz de dimensão $n\times nm$ $$ K = \left[ B|AB| \cdots |A^{n-1}B\right]$$ e o par $(A,B)$ é controlável se, e somente se, o posto de $K$ é máximo ($=n$).