Consideremos duas matrizes $A \in \mathbb{M}_{n\times n}$ e $ B \in \mathbb{M}_{n\times m}$, que define um sistema de controle linear dado pela dinâmica $$ \dot{x}(t) = Ax(t) + Bu(t) $$ com $u(\cdot)$ no espaço vetorial de funções $\mathcal{U} =\{ u:\mathbb{R} \to \mathbb{R}^m \}$ localmente integráveis. A solução desse sistema que no instante $t_0$ passa por $x_0$ é: $$\varphi(t,t_0,x_0,u(\cdot))= \text{e}^{(t-t_0)A}x_0 + \int_{t_0}^t\text{e}^{(t-s)A}Bu(s)ds$$
O conjunto $$ \mathcal{A}(t,t_0,x_0) = \{x\in \mathbb{R}^n: (\exists u(\cdot) \in \mathcal{U}) \wedge (x = \varphi(t,t_0,x_0,u(\cdot)))\} $$ Este conjunto chamaremos de conjunto de controlabilidade. Queremos condições sobre o par de matrizes $(A,B)$ para que este conjunto seja todo espaço de estados $\mathbb{R}^n$, e neste caso diremos que o par $(A,B)$, ou o sistema seja controlável.
$\mathcal{A}(t,t_0,x_0) = \text{e}^{(t-t_0)A}x_0 + \{ \int_{t_0}^t\text{e}^{(t-s)A}Bu(s)ds : u(\cdot) \in \mathcal{U}\} = \text{e}^{(t-t_0)A}x_0 +\mathcal{A}(t,t_0,0).$
$\mathcal{A}(t,t_0,0)= \text{Im}\mathcal{L}$ onde $\mathcal{L}$ é o operador linear
Podemos reescrever a equação $\ddot{x}(t) = u(t)$ como: $$\begin{pmatrix}\dot{x} \\ \dot{y} \end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix} u(t) $$ Pode-se verificar facilmente que $$ \text{e}^{(t-t_0)A} = \begin{pmatrix} 1 & t-t_0 \\ 0 & 1\end{pmatrix} \text{ e } \mathcal{L}(u) = \begin{pmatrix} \int_{t_0}^t(t-s)u(s) ds \\ \int_{t_0}^t u(s) ds \end{pmatrix}$$
Dado um ponto $(x_0,y_0)$ qualquer de $\mathbb{R}^n$ e tomando um controle da forma $u(t) =at + b$, então podemos resolver o sistema: $$ \begin{eqnarray} a \int_{t_0}^t (t-s)sds + b \int_{t_0}^t(t-s)ds & = & x_0 \\ a \int_{t_0}^ts ds + b \int_{t_0}^t ds&=& y_0 \end{eqnarray}$$ para mostrar que este par de matrizes é controlável.
verifique que o par de matrizes $(A,B)$ com: $$ A = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} \text{ e } B= \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix}$$ não é controlável.