A estabilidade de uma matriz $A$ fica determinada pelo número $\omega(A)$; se este é negativo a matriz é estável. De forma equivalente, se todas as raízes do polinômio característico de $A$ têm a parte real negativa, conclui-se que $\omega(A) < 0$ e que $A$ é estável. Um polinômio $p(\lambda)= \lambda^n +a_1\lambda^{n-1} + \cdots + a_n$ é estável quando tiver todas as raizes com a parte real negativa. Decidir se um polinômio é estável a partir de seus coeficientes, se o grau deste polinômio é "pequeno" é relativamente simples, por exemplo: Se $p(\lambda)$ é um polinômio de grau menor ou igual a dois (!) ele é estável se, e somente se, todos os coeficientes forem estritamente positivos (estamos falando dos polinômios da forma acima, isto é, com líder 1). Este resultado não é mais verdade para polinômios de grau 3. Por exemplo o polinômio $p(\lambda) = \lambda^3 + \lambda^2 + \lambda + 6$ não é estável. Fazendo as contas
import numpy as np
# lista de coeficientes do polinômio [a0,a1,a2,a3]
p=[1,1,1,6]
print(np.roots(p))
[-2.0+0.j 0.5+1.6583124j 0.5-1.6583124j]
De fato, a condição $a_i>0$, é uma condição necessária para a estabilidade do polinômio, para uma condição necessária e suficiente vamos enunciar o Teorema de Routh. Vamos construir uma sequência de polinômios $q_1(x),\dots, q_k(x)$ a partir de um polinômio $p(\lambda)$ da forma seguinte: seja $p(\lambda)= \lambda^n +a_1\lambda^{n-1} + \cdots + a_n$ e escrevemos $p(\mathbf{i}x) = U(x) + \mathbf{i}V(x)$. Por exemplo, se $\mathbf{i}^n=1$ então $U(x) =x^n - a_{2}x^{n-2}+\cdots + a_n$ e $V(x) =-a_{1}x^{n-1} + a_{3}x^{n-3}\cdots -a_{n-1}x$.
Agora definimos, se $n$ é par $q_1(x) = U(x)$ e $q_2(x)=V(x)$. Se $n$ é ímpar $q_1(x)=V(x)$ e $q_2(x) = -U(x)$. Os outros membros da sequência são definidos recursivamente, usando o algoritmo da divisão, como: $$ q_{i-2}(x)=d_{i-1}(x)q_{i-1}(x) - q_i(x) $$ até que $q_k(x)=cte$. Vamos chamar esta sequência de sequência de Routh.
O polinômio $p(\lambda)= \lambda^n +a_1\lambda^{n-1} + \cdots + a_n$, com todos os coeficientes positivos, será estável se, e somente se, a sequência de Routh tiver $n+1$ elementos com sinal dos líderes dos polinômios alternados.