Seja $T : \Omega \subset \mathbb{C} \to \mathbb{M}_{p\times m} = (t_{ij}(z))$ uma função de transferência. A tripla de matrizes $(A,B,C)$ é uma realização de $T(z)$ se tivermos $T(z) = C(zI-A)^{-1}B$. Daí, uma condição necessária para a existência de uma realização é que existam polinômios $n_{ij}(z)$ e $d_{ij}(z)$ com $\text{grau}(d_{ij}) > \text{grau}(n_{ij})$ e $t_{ij}(z) = \dfrac{n_{ij}(z)}{d_{ij}(z)}$. Veremos que esta condição também é suficiente.
Lembramos que $$ \sum_{k=0}^\infty a^k = \frac{1}{1-a} \text{ para } \|a\| \lt 1 $$ Em particular, temos para as funções $$ f(z) = \frac{1}{z-a} = \frac{1}{z(1-\frac{a}{z})} = \sum_{k=0}^\infty \frac{a^k}{z^{k+1}} \text{ para } \|z\|\gt \|a\|$$ Esta expressão chamaremos de desenvolvimento em torno de infinito da função $f(z)$.
Cada componente $t_{ij}(z)$ de $T(z)$ tem um desenvolvimento em torno de infinito, se satisfaz a hipótese anterior. Assim podemos escrever; $$ T(z) = \sum_{k=0}^\infty \frac{W_k}{z^{k+1}} \text{ onde } W_k \in \mathbb{M}_{p\times m} $$ Por outro lado, o desenvolvimento de $C(zI-A)^{-1}B$ é $$ \sum_{k=0}^\infty \frac{CA^kB}{z^{k+1}} $$ comparando os termos das duas séries temos $$ W_k = CA^kB $$ e para achar uma realização de $T(z)$ basta encontrar a tripla que satisfaz as relações acima.
Considere o polinômio $p(z) = z^n + a_1 z^{n-1}+ \cdots + a_n$ que é o mmc dos polinômios $d_{ij}(z)$. Agora $p(z)T(z)$ é uma matriz com polinômios então devemos ter as relações: $$ W_n + a_1W_{n-1}+ \cdots a_nW_0 =0 $$ e, de forma geral,
$$ W_{l+n} + a_1W_{l+n-1}+ \cdots a_nW_l =0 \text{ para todo } l.$$Isto nos permite construir a realização da seguinte forma: Denotemos por $I_p$ a matriz identidade de $\mathbb{M}_{p\times p}$ e por $0_p$ a matriz nula de $\mathbb{M}_{p\times p}$.
Fazemos $C = \left[ I_p 0_p \cdots 0_p \right] \in \mathbb{M}_{p\times np}$
Fazemos $ B = \begin{bmatrix}W_0 \\ \vdots \\ W_{n-1} \end{bmatrix} \in \mathbb{M}_{np \times m}$
e finalmente $A = \begin{bmatrix}0_p & I_p & 0_p & \cdots &0_p \
0_p & 0_p & I_p & \cdots & 0_p \ \vdots & \vdots & & & \ -a_nI_p & -a_{n-1}I_p & - a_{n-2}I_p & \cdots & -a_1I_p\end{bmatrix} \in \mathbb{M}_{np\times np}.$