Seja $\Psi : \mathbb{R} \to \mathbb{M}_{p\times m}$ de classe $\mathcal{C}^1$ uma função e suponha que existe $n\in \mathbb{N}$ e funções $G:\mathbb{R} \to \mathbb{M}_{p\times n}$ e $H:\mathbb{R} \to \mathbb{M}_{n\times m}$ tal que $$ \Psi(t-s)=G(t)H(s) \text{ para todo } t>s.$$ Então $\Psi(t)$ admite uma realização $(A,B,C)$.
Definimos $$ W = \int_0^T H(s)H^\prime(s)ds $$ onde $H^\prime$ denota a transposta de $H$. Suponha, em primeiro lugar que $W$ seja inversível. $$ \begin{gather} \phi(t,s) = \Psi(t-s) \implies 0= \frac{\partial \phi}{\partial t} + \frac{\partial \phi}{\partial s} = \dot{G}(t)H(s) + G(t)\dot{H}(s) \\ \implies \dot{G}(t)W = -G(t)\int_0^T\dot{H}(s)H^\prime(s)ds \implies \dot{G}(t) = G(t)A \end{gather}$$ onde $$A= -\int_0^T\dot{H}(s)H^\prime(s)dsW^{-1}$$ A solução desta equação diferencial é $$G(t) = G(T)\text{e}^{(t-T)A}$$ Escrevendo $$\Psi(t) = \Psi((t+T) - T)=G(t+H)H(T)= G(T)\text{e}^{tA}H(T) $$ A realização é então $$\begin{gather} A = -\int_0^T\dot{H}(s)H^\prime(s)dsW^{-1} \\ B= H(T) \\ C= G(T) \end{gather}$$
Para terminar a prova do teorema precisamos do seguinte Lema:
Nas hipóteses do teorema acima, se a matriz $W$ não é inversível então existem funções, $\tilde{G}:\mathbb{R} \to \mathbb{M}_{p\times l}$ e $\tilde{H}:\mathbb{R} \to \mathbb{M}_{l\times m}$ tal que $ \Psi(t-s)=\tilde{G}(t)\tilde{H}(s) \text{ para todo } t>s,$ e $\int_0^T \tilde{H}(s)\tilde{H}^\prime(s)ds$ é inversível.
Prova Suponha que $\text{posto}W = l$. Como $W$ é semi-definida positiva então existe uma matriz ortogonal $P$ tal que $$ PWP^\prime = \begin{bmatrix}\lambda_1 & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & \lambda_2 & \cdots & 0 \\ \cdots & \cdots & \ddots & 0 \\ 0 & 0& \cdots & 0 \end{bmatrix}$$ onde $\lambda_1, \dots , \lambda_l$ são os autovalores reais positivos de $W$. Definimos agora a matriz $L=(l_{ij}) \in \mathbb{M}_{n\times n}$ com a definição $l_{ii} = 1/\sqrt{\lambda_i}$ se $i\leq l,$ $l_{ii}=1$ se $i>l$ e $l_{ij}=0$ nos outros casos. Então teremos $$(LP)W(LP)^\prime = \begin{bmatrix}\mathbf{I}_l & 0 \\ 0 & 0 \end{bmatrix}=V = \begin{bmatrix}\mathbf{I}_l \\ 0\end{bmatrix} \begin{bmatrix} \mathbf{I}_l & 0 \end{bmatrix} = L_1 L_1^\prime $$ Observe que $V^k =V$ pois precisaremos disso. Denotando também $(PL)^{-1} = Q$ temos $$ W = QVQ^\prime $$ Usando estas identidades podemos mostrar que $$\int_0^T (QVQ^{-1}H(s) - H(s))(QVQ^{-1}H(s) - H(s))^\prime =0 $$ e portanto $$ QVQ^{-1}H(s) - H(s) =0 \text{ } \forall t \in [0,T]$$
Daí $$ G(t)H(s) = G(t)QVQ^{-1}H(s) = (G(t)QL_1)(L_1^\prime Q^{-1}H(s) $$ e $$\tilde{G}(t) = G(t)QL_1 \text{ e } \tilde{H}(s) = L_1^\prime Q^{-1}H(s)$$