A função de transferência de um sistema é a transformada de Laplace da função de resporta ao impulso: $$ T(z) = \mathcal{L}(\Psi(t)) = \int_0^\infty \text{e}^{-zs}\Psi(s)ds $$ Note que se $(A,B,C)$ for uma realização de $\Psi(t)$, então $\Psi(t)=C\text{e}^{tA}B$ e portanto teremos $$T(z) =C(zI - A)^{-1} B$$ de definimos qualquer trio $(A,B,C)$ que satisfaz esta ultima equação como uma realização da função de transferência $T(z)$.
Usando uma entrada $u(t) = \text{e}^{i\omega t}v$, a resposta pode se escrever $$ \begin{gather} y(t) = \int_0^t \Psi(t-s)\text{e}^{i\omega s}vds = \int_0^t \Psi(s)\text{e}^{i\omega (t-s)}vds \\ = \int_0^\infty \Psi(s)\text{e}^{i\omega (t-s)}vds -\int_t^\infty \Psi(s)\text{e}^{i\omega (t-s)}vds \\ = \text{e}^{i\omega t}\int_0^\infty \Psi(s)\text{e}^{-i\omega s}vds - \Psi(t)\int_0^\infty\Psi(s)\text{e}^{-i\omega s}vds \\ = \text{e}^{i\omega t}T(i\omega) - \Psi(t)T(i\omega) \end{gather}$$ Quando $A$ é estável, então $\Psi(t) \to 0$ se $t\to \infty$ e poderemos desprezar o segundo termo, e neste caso, quando $m=p=1$, podemos escrever $T(i\omega)=\rho(\omega)\text{e}^{\alpha(\omega)i}$, ou seja: $$ y_\omega (t) = \rho(\omega)\text{e}^{(\omega t + \alpha(\omega))i}$$ que nos informa o suficiente sobre a função de transferência.