Os nossos algoritmos para a realização, tanto da função resposta ao impulso quanto da função de tranferência, podem fornecer matrizes de sistemas que não sejam controláveis ou observaveis. Quando uma realização é controlável e observável e chamada de Realização Mínima
Se $\psi(t)$ é uma função resposta ao impulso com realização $(A,B,C)$. Então $\psi(t)$ possui uma realização mínima.
Primeiro suponha que o par $(A,B)$ não seja controlável, e o posto da matriz de Kalman seja $l\lt n$ ( obs: $A\in \mathbb{M}_{n\times n}$). Usando a forma de Kalman das matrizes temos que existe uma matriz inversível $P$ talque $$ P^{-1} A P = \begin{bmatrix} A_{11} & A_{12} \\ \mathbf{0} & A_{22}\end{bmatrix} = A_1 $$ e $$ P^{-1}B = \begin{bmatrix} B_{11} \\ \mathbf{0} \end{bmatrix} = B_1 $$ e $(A_{11},B_{11})$ controlável. Se $C_{11}$ é a matriz formada com as $l$ primeiras colunas da matriz $CP$ então podemos ver que $(A_{11},B_{11},C_{11})$ será uma outra realização de $\psi(t)$, desta vez controlável.
Suponha agora que $(A,B,C)$ seja uma realização controlável, mas não observável. Então novamente usando a teoria da forma de Kalman encontramos uma matriz inversível $Q \in \mathbb{M}_{n\times n}$ tal que $$ Q^{-1} A Q = \begin{bmatrix} A_{11} & \mathbf{0}\\ A_{12} & A_{22}\end{bmatrix} = A_1 $$ e $$ CQ = \begin{bmatrix} C_{11} & \mathbf{0} \end{bmatrix} = C_1 $$ Com $A_{11}$ matrix quadrada de dimensão $k$ e o par $(A_{11},C_{11})$ observável. Agora definimos $B_{11}$ como a matriz formada com as $k$ primeiras linhas de $Q^{-1}B$. Verifica-se que $(A_{11},B_{11},C_{11})$ será uma realização de $\psi(t)$, $(A_{11},C_{11})$ é observável por construção e $(A_{11},B_{11})$ continua controlável.