Retomemos a equação do sistema linear $$\begin{gather}\dot{x}=Ax + Bu \\ y=Cx \end{gather}$$ e verificamos a relação entre as condições iniciais do espaço de estado e a saída do sistema. A questão é: dado o controle admissível podemos identificar o estado inicial do sistema a partir da saída $y(t)$. Diremos que os sistema é observável em tempo $T$ se para quaisquer par de estados $x_a$ e $x_b$ diferentes, as respectivas funções de saída $y_a(t)$ e $y_b(t)$ também diferem. Ou seja: existe $t \in [0,T]$ tal que $y_a(t)-y_b(t)\neq 0$.
Temos que $y_a(t)-y_b(t)=C\exp(tA)(x_a-x_b)$, daí concluímos que o sistema é observável em tempo $T$, ou o par $(A,C)$ é observável, se e somente se, $C\exp(tA)\mathbf{x} \neq 0$ para todo .
Definimos a matriz de observabilidade:
$$R_T=\int_0^T \exp(sA^\prime)C^\prime C \exp(sA)ds$$Então verificamos que $$\int_0^T \|{C\exp(sA)\mathbf{x} }\|^2ds= < R_T \mathbf{x},\mathbf{x}>$$ donde o par $(A,C)$ é observável se e somente se $R_T$ for inversível. Como a matriz de observabilidade de $(A,C)$ é exatamente a matriz de controlabilidade de $(A^\prime,C^\prime)$ temos as relações de dualidade. O sistema anterior e observável se e somente se o sistema dual $$ \begin{gather} \dot{z} = A^\prime z + C^\prime v \\ w=B^\prime z \end{gather}$$ for controlável.
Analogamente ao caso da controlabilidade podemos escrever os critérios de Kalman para a observabilidade: o par $(A,C)$ é observável quando a matriz de kalman de observabilidade $np\times n$ $$\mathbb{O}_{(A,C)}=\begin{bmatrix} C \\ CA \\ \vdots \\ CA^{n-1}\end{bmatrix}$$ tem posto máximo.