Como uma preparação para a apresentar a solução de um sistema autônomo linear vamos rever a exponenciação de Matrizes quadradas
Indentificamos de forma natural o espaço vetorial $\mathbb{R}^n$ com o conjunto das matrizes com $n$ linhas e $1$ coluna. Aí, além da estrutura algébrica canônica de espaço vetorial, consideremos também a norma euclidiana derivada do produto interno natural: $$ \langle \mathbf{x}, \mathbf{y}\rangle = \sum x_iy_i \text{ e } \| \mathbf{x} \| = \sqrt[2]{\langle \mathbf{x}, \mathbf{x}\rangle}$$ Vamos definir a norma de uma matriz quadrada $A \in \mathbf{M}_{n\times n}$ como: $$ \| A \| = \sup_{\mathbf{x} \neq 0} \frac{\|Ax\|}{\|x\|} $$ Esta não é a única forma de definir norma no espaço das matrizes. Um levantamento dos tipos de normas em matrizes pode ser visto neste site da Wikipédia.
Mostre as seguintes propriedades da norma definida acima:
Pode-se mostrar que no nosso caso a norma $\|A\|$ é o maior valor singular de $A$, isto é: $$ \|A\| = \sigma_{max}(A) = \sqrt{\lambda_{max}(A^*A)}$$
# Norma de matrizes em numpy
import numpy as np
from numpy.linalg import norm
# defino a matriz
A = np.array([[1,2,3],[0,1,0],[3.5,7.2,0]])
sigma = norm(A,2) # a norma que a gente definiu
print(sigma)
8.40415678638
Com a norma acima temos a idéia de convergência introduzida no espaço $\mathbf{M}_{n\times n}$. E vamos definir a exponecial da matriz exatamente através de uma série absolutamente convergente: $$ \exp{A} = \sum_{k=0}^\infty \frac{A^k}{k!} = I +\sum_{k=1}^\infty \frac{A^k}{k!} $$
Calcular $\exp(tA)$ quando
$ A = \begin{pmatrix}2 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix}$
$ A = \begin{pmatrix}0 & 2 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}$
$ A = \begin{pmatrix} 1 & -1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$
$ A = \begin{pmatrix}0 & 1 \\ -1 & 0 \end{pmatrix}$
# Exponencial de matriz usando Scipy
from scipy.linalg import expm, expm3
B = expm(A) # A foi definida antes
C = expm3(A)
print(A,"\n\n",B,"\n\n",C)
[[ 1. 2. 3. ] [ 0. 1. 0. ] [ 3.5 7.2 0. ]] [[ 2.52429687e+01 6.39546323e+01 1.99915757e+01] [ 5.78291983e-16 2.71828183e+00 7.82145295e-16] [ 2.33235049e+01 6.29962395e+01 1.85791101e+01]] [[ 25.24296858 63.95463202 19.99157557] [ 0. 2.71828183 0. ] [ 23.32350483 62.9962392 18.57911005]]