Seja $T =\{ (x_0,y_0),\dots, (x_k,y_k)\}$ uma tabela regular e $\{g_0,\dots,g_n\}$ uma família de funções reais. Dizemos que a família é ortogonal em relação à tabela dada se $\langle g_i,g_j\rangle=0$ para $i\neq j$ e $\langle g_i,g_i\rangle>0$. Lembro a definição $\langle g_i,g_j\rangle=\sum_{l=0}^k g_i(x_l)g_k(x_l)$.
Neste caso a solução do problema de MMQ é $a_i = \frac{\langle g_i,y \rangle}{\langle g_i,g_i\rangle}$.
Se a família $\mathbb{G} = \{g_0,\dots,g_n\}$ não é ortogonal e vale que $\langle g_i,g_i\rangle>0$, então podemos definir $$ \begin{eqnarray} f_0 &= &g_0\\ f_j & = & g_j - \sum_{i=1}^{j-1}\frac{\langle g_j,f_i\rangle}{\langle f_i,f_i\rangle}f_i \end{eqnarray} $$
Agora a família de funções $\mathbb{F} = \{f_0,\dots,f_n\}$ gera o mesmo espaço de funções que a família $\mathbb{G}$ e esta família é ortogonal em relação à tabela $T$.
Primeiro mostramos que $f_0$ e $f_1$ são ortogonais. Da definição temos que $f_1 = g_1 - \frac{\langle g_1, g_0\rangle}{ \langle g_0, g_0\rangle}g_0$. Usando as propriedades de bilinearidade do produto interno temos que $\langle f_1, f_0\rangle =0$.
No segundo passo, assumimos que o conjunto $\{f_0,\dots,f_{i-1}\}$ é ortogonal então $\{f_0,\dots,f_{i}\}$ é ortogonal. De fato basta mostrar que $\langle f_i, f_j\rangle =0$ para $j\lt i$. Temos então: $$\langle f_i, f_j\rangle = \langle g_i - \sum_{l=1}^{i-1}\frac{\langle g_i,f_l\rangle}{\langle f_l,f_l\rangle}f_l , f_j\rangle = \langle g_i, f_j \rangle - \sum_{l=1}^{i-1}\frac{\langle g_i,f_l\rangle}{\langle f_l,f_l\rangle}\langle f_l , f_j\rangle =0$$