Seja $p_1(x)$ o polinômio interpolador de $\{(x_0,f_0),(x_1,f_1)\}$, então, usando a fórmula do erro do polinômio interpolador temos $f(x)-p_1(x) = \dfrac{f^{\prime\prime}(\xi_x)}{2}(x-x_0)(x-x_1)$ de onde temos: $$\int_{x_0}^{x_1}f(x)dx- \mathcal{T}_1(f) = \int_{x_0}^{x_1} \dfrac{f^{\prime\prime}(\xi_1)}{2}(x-x_0)(x-x_1)dx = -\dfrac{f^{\prime\prime}(\xi)}{12}(x_1-x_0)^3 $$
No método dos trapézios com $n$ repetições a fórmula fica , definindo $h = \dfrac{(x_n -x_0)}{n}$ $$\int_{x_0}^{x_n}f(x)dx- \mathcal{T}_n(f) = -\dfrac{f^{\prime\prime}(\xi_n)}{12}h^2(x_n-x_0) $$
com $\xi_1 \in [x_0,x_2]$ e $h=(x_2-x_0)/2$.
com $\xi_n \in [a,b]$ e $h=(x_{2n}-x_0)/2n$
Note que na fórmula do erro no método de Simpson há um fator multiplicador, que é a quarta derivada da função $f(x)$. Se esta função for um polinômio de grau menor ou igual a três, o erro será nulo e a integral numérica é exata!