Zdefinowanie stanów koherentnych Gazeau-Klaudera, przedstawienie ich konstrukcji numerycznej
Stany Gazeau-Klaudera dla oscylatora Kerra
Własnosci nieklasyczne stanów Gazeau-Kludera
Temporalna stabilność stanów koherentnych
Zadania
Stany koherentne (CS, ang. Coherent States) odgrywają wielką rolę w wielu zagadnieniach fizyki. Szczególna uwaga optyków kwantowych skupiona na własnosciach tych stanów wiąże się z ich zastosowaniem w kwantowej teorii informacji. Stany koherentne w ogólnym przypadku wiązać możemy, na wzór prac A. Perelomova, z pewnymi symetriami obecnymi w układzie kwantowym. W pewnym uproszczeniu załóżmy, że hamiltonian układu kwantowego $H$ jest wyrażony poprzez generatory pewnej algebry Liego. W układach optycznych są to na przykład operatory kreacji i anihilacji bozonów $a, a^\dagger$ związane z reprezentacją algeby Heisenberga-Weyla (standardowe CS) $[a,a^\dagger]=1$ lub macierze Pauliego związane z reprezentacją algebry Liego grupy $SU(2)$ (spinowe CS). Szczególną klasę zagadnień wiążemy z bozonową reprezentacją algeby grupy $SU(1,1)$ ze względu na jej rolę w teorii stanów optycznych ściśniętych (ścieśnionych) kwadraturowo. Ich dyskusja przedstawiona zostanie w osobnych materiałach.
W przypadku, gdy hamiltonian układu kwantowego wyraża się poprzez generatory pewnej algebry Liego, wówczas operator przesunięcia w czasie ($\hbar=1$) $$U(t)=\exp(-iHt)$$ jest elementem reprezentacji odpowiedniej grupy Liego. Oznacza to, że jeśli stan początkowy jest dany stanem koherentnym, to dla dowolnej chwili czasu takim pozostaje. Własność ta nosi nazwę temporalnej stabilności.
Należy podkreślić, że temporalna stabilność rodziny stanów koherentnych nie jest jedyną cechą stanów koherentnych czyniącą je intersującymi i ważnymi. Niezależnie od tego w tych materiałach na tej właśnie cesze skupimy naszą uwagę.
Nie zawsze potrafimy wskazać symetrię hamiltonianu rozważanego układu. Często (prawie zawsze) jej zwyczajnie nie ma :) Istnieje jednak klasa stanów koherentnych, które mozemy zbudować dla szerokiej klasy układów kwantowych. Rozważmy przypadek najprostszy: układ kwantowy o dyskretnym widmie niezwyrodniałym: $$H|\psi_n\rangle=E_n|\psi_n\rangle=\omega \epsilon_n|\psi_n\rangle$$ Stany koherentne Gazeau-Klaudera (GKCS) definiujemy następująco: $$|J,\gamma\rangle=\frac{1}{C(J)}\sum_{n=0}^{\infty}\frac{J^{n/2}\exp(-i\gamma e_n)}{\sqrt{\rho_n}}|\psi_n\rangle $$ gdzie $$e_n=\epsilon_n-\epsilon_0$$ oraz $$\rho_n=\prod_{j=1}^n e_j$$ Czynnik normujący $$C^2(J)=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{J^n}{\rho_n}$$ narzuca nam ograniczenia na wartości parametru $J$ związane z promienim zbieżności szeregu $C(J)$
Stany GK, podobnie jak inne stany koherntne, cechują się temporalną stabilnością: $$ |J,\gamma,t\rangle= \frac{1}{C(J)}\sum_{n=0}^{\infty}\frac{J^{n/2}\exp(-i(\gamma+\omega t) e_n)}{\sqrt{\rho_n}}|\psi_n\rangle $$ W dowolnej chwili stan GKCS ewoluuje do innego stanu GKCS. Cecha ta ma zasadnicze praktyczne znaczenie:
pozwala na badanie asymptotycznych własności układu kwantowego
stanowi bazę dla testu metody numerycznej
Rozważmy własności GKCS dla bardzo ważnego rodzaju oscylatora nieliniowego $$H=\omega a^\dagger a+\chi a^{\dagger 2} a^2= \omega \hat{N}+\chi(\hat{N}^2-\hat{N})$$ opisującego tzw. ośrodek Kerra wykorzystywany do parametrycznego obniżania częstości (parametric down-conversion) czy konstrukcji kotów Schroedingera. Istotną cechą, którą wykorzystamy dla celów dydaktycznych jest rozwiązywalnośc modelu: $$|\psi_n\rangle=|n\rangle$$ gdzie $|n\rangle$ to stany własne "zwykłego oscylatora", zaś widmo $$e_n=\epsilon_n=n-\mu n+\mu n^2$$ gdzie $\mu=\chi/\omega$.
Pozwala to na obliczenie analityczne: $$\rho_n=\Gamma(n+1)\mu^n\Gamma(\frac{\mu n+1}{\mu})/\Gamma(\frac{1}{\mu})$$ (ZADANIE: wykazać, można wykorzystać pakiet do obliczeń symbolicznych)
Zauważmy, że w granicy oscylatora liniowego otrzymujemy
$$\lim_{\mu\rightarrow 0}\rho_n=\Gamma(n+1)=n!$$
(ZADANIE: wykazać, można wykorzystać pakiet do obliczeń symbolicznych)
czyli dla $\mu=0$ GKCS stają się standardowymi stanami koherentymi oscylatora harmonicznego $$|J,\gamma\rangle\rightarrow \frac{1}{C(J)}\sum_{n=0}^{\infty}\frac{J^{n/2}\exp(-i\gamma n)}{\sqrt{n!}}|n\rangle $$ czyli $|J,\gamma\rangle\rightarrow |z\rangle$ gdzie $z=\sqrt{J}\exp(-i\gamma)$
A. Oscylator Kerra
from qutip import *
from pylab import *
%pylab inline
Populating the interactive namespace from numpy and matplotlib
WARNING: pylab import has clobbered these variables: ['power', 'linalg', 'draw_if_interactive', 'random', 'save', 'load', 'info', 'fft'] `%pylab --no-import-all` prevents importing * from pylab and numpy
Pakiet QuTip wykorzystuje w obliczeniach obciętą przestrzeń stanów układu kwantowego: innymi słowy operuje macierzami skończenie wymiarowymi
N=10 # wymiar przestrzenie stanów
chi=1.0 # amplituda nieliniowości
#omega=1.0
Konstruujemy hamiltonian układu wykorzystując operator $num(N)=a^\dagger a$ wbudowany w pakiet Qutip:
H=num(N)+chi*(num(N)*num(N)-num(N))
Do konstrukcji GKCS niezbędna jest znajomość zagadnienia własnego operatora $H$:
kk=H.eigenstates(sort='low')
E=kk[0] # wartości własne
W=kk[1] # wektory własne
Zauważmy, że w rozważanym przypadku stany własne są elementami bazy kanonicznej $N=10$ wymiarowej przestrzeni wektorowej $\mathcal{H}(\mathbb{C})$
Do konstrukcji stanów GKCS $|J,\gamma,t\rangle$ wykorzystamy funkcję:
def gk(J,gamma,E,W,t): # t : czas
E=E-E[0] #skalowanie stanu podstawowego
rho=1.0
gk=W[0]
for i1 in range(1,N):
rho=rho*E[i1]
gk=gk+(J**(i1/2.0)*exp(-1J*(gamma+t)*E[i1]))/(sqrt(rho))*W[i1]
gk=gk.unit()
return gk
ZADANIE: porównać numeryczne wartości $\rho$ z analitycznymi wynikami $\rho_n$ znanymi dla oscylatora Kerra
ZADANIE: dla $\mu=0$ obliczyć $gk(J,gamma,E,W,0)$ i porównać ze stanami koherentnymi oscylatora hamonicznego. Można wykorzystać (ostrożnie!) obiekt $coherent(N,z)$ (zob. QuTip manual)
Podstawową cechą "zwykłych" stanów koherentnych jest ich 'klasyczność' odzwierciedlona miedzy innymi w poissonowskiej statystyce fotonów.
Rozważmy parametr Mandla obliczany w stanie $\rho$: $$Q=\frac{\langle \hat{N}^2\rangle-\langle \hat{N}\rangle^2-\langle \hat{N}\rangle}{\langle \hat{N}\rangle}$$ gdzie $\langle \hat{N^k}\rangle=\mbox{Tr}((a^\dagger a)^k \rho)$
Dla "zwykłych" stanów koherentnych $Q=0$ (statystyka fotonów jest poissonowska). W przypadku, gdy $Q\lt 0$ (statystyka sub-poissonowska) mamy do czynienia ze stanami nieklasycznymi, szeroko i szczegółowo badanymi w optyce kwantowej.
Naszym celem będzie określenie wartości $Q$ dla GKCS obliczonych dla ośrodka Kerra.
Funkcja $mandel(rho)$ oblicza wartość parametru $Q$ w stanie $\rho$:
def mandel(rho): # UWAGA: rho jest macierzą gęstości (QuTip quantum object)
N=dims(rho)[0][0] # określenie wymiaru macierzy (przestrzeni stanów)
Q=(num(N)*num(N)*rho).tr()-((num(N)*rho).tr())**2.0-(num(N)*rho).tr()
Q=Q/((num(N)*rho).tr())
return Q
Aby zilustrować graficznie wpływ nieliniowości ($\chi$) na wartość parametru $Q$ stanów GKCS określamy wartości parametru $\chi$, dla których chcemy obliczyć $Q$:
chi_list=linspace(0.0,10.0,30) # lista od 0 do 1.0 o 20 elementach
mandel_list=zeros(len(chi_list)) # lista wyników $Q$ dla odpowiednich $\chi$
for i1 in range(0,len(chi_list)):
chi=chi_list[i1] # wartość $\chi$
HH=num(N)+chi*(num(N)*num(N)-num(N)) # postać hamiltonianiu
kkk=HH.eigenstates(sort='low') # zagadnienie własne
EE=kkk[0] # wartości własne
WW=kkk[1] # wektory własne
psi=gk(0.1,0,EE,WW,0) # GKCS dla HH
mandel_list[i1]=real(mandel(psi*psi.dag())) # macierz gęstosci w agrumencie mandel
UWAGA: funkcja $mandel(rho)$ wymaga macierzy gęstości $\rho=|\psi\rangle\langle\psi| =|\psi\rangle (|\psi\rangle)^\dagger$ czyli $psi*psi.dag()$
plot(chi_list,mandel_list)
show() # wykres
Zauważmy, że dla $\mu=0$ (oscylator harmoniczny) $Q=0$, jak należało się spodziewać.
Własność tę wykorzystamy do porównania stanu $|J,\gamma,t\rangle$ ze stanem $$|\psi(t)\rangle=U(t)|J,\gamma,0\rangle$$ innymi słowy: przetestujemy skuteczność metody numerycznej $mesolve$
Na wstępie określamy siatkę chwil (czasu), dla których obliczymy $|\psi(t)\rangle$ oraz stan początkowy $|\psi(0)\rangle$:
tlist=linspace(0.0,10.0,10)# czas
psi0=gk(1.0,0,E,W,0) #stan poczatkowy
Następnie wykorzystujemy procedurę $mesolve$ (zob. QuTip manual)
qq=mesolve(H, psi0, tlist, [], [])
Dla określenia jakości obliczeń numerycznych obliczamy fidelity: $$F=\langle\psi(t)|J,\gamma,t\rangle$$ w wybranej chwili:
print(((qq.states[9]).dag())*gk(1.0,0.0,E,W,10.0))
Quantum object: dims = [[1], [1]], shape = [1, 1], type = oper, isherm = False Qobj data = [[ 1. -1.21272910e-10j]]
Uzyskany wynik nie powienien różnić się znacząco od jedności.
Zilustrować graficznie ewolucję w czasie parametru $Q$ dla oscylatora Kerra o różnych wartościach $\mu$
Zbudować GKCS dla układu opisywanego hamiltonianem:
UWAGA: $\cos(\hat{X})=\frac{1}{2}(\exp(i\hat{X})+\exp(-i\hat{X}))$, można wykorzystać $expm()$ (zob. Qutip manual)
Model ten opisuje kwantowe własności złącz Josephsona
Zilustrować graficznie ewolucję w czasie parametru $Q$ dla powyższego modelu.
Przebadać własności GKCS w zależności od parametru $\gamma$