numpy.linalg中的逆矩阵函数inv函数、行列式det函数、求解线性方程组的solve函数、内积dot函数、特征分解eigvals函数、eig函数、奇异值分解svd函数、广义逆矩阵的pinv函数
import numpy as np
在NumP中,矩阵是ndarray的子类,可以由专用的字符串格式来创建。我们可以使用mat、matrix、以及bmat函数来创建矩阵。
mat函数创建矩阵时,若输入已经为matrix或ndarray对象,则不会为它们创建副本。因此,调用mat函数和调用matrix(data, copy=False)等价。
在创建矩阵的专用字符串中,矩阵的行与行之间用分号隔开,行内的元素之间用空格隔开。
A = np.mat('1 2 3; 4 5 6; 7 8 9')
print "Creation from string:\n", A
Creation from string: [[1 2 3] [4 5 6] [7 8 9]]
# 转置
print "Transpose A :\n", A.T
# 逆矩阵
print "Inverse A :\n", A.I
Transpose A : [[1 4 7] [2 5 8] [3 6 9]] Inverse A : [[ -4.50359963e+15 9.00719925e+15 -4.50359963e+15] [ 9.00719925e+15 -1.80143985e+16 9.00719925e+15] [ -4.50359963e+15 9.00719925e+15 -4.50359963e+15]]
# 通过NumPy数组创建矩阵
print "Creation from array: \n", np.mat(np.arange(9).reshape(3,3))
Creation from array: [[0 1 2] [3 4 5] [6 7 8]]
我们可以利用一些已有的较小的矩阵来创建一个新的大矩阵。用bmat函数来实现。
A = np.eye(2)
print "A:\n", A
B = 2 * A
print "B:\n", B
# 使用字符串创建复合矩阵
print "Compound matrix:\n", np.bmat("A B")
print "Compound matrix:\n", np.bmat("A B; B A")
A: [[ 1. 0.] [ 0. 1.]] B: [[ 2. 0.] [ 0. 2.]] Compound matrix: [[ 1. 0. 2. 0.] [ 0. 1. 0. 2.]] Compound matrix: [[ 1. 0. 2. 0.] [ 0. 1. 0. 2.] [ 2. 0. 1. 0.] [ 0. 2. 0. 1.]]
线性代数是数学的一个重要分支。numpy.linalg模块包含线性代数的函数。使用这个模块,我们可以计算逆矩阵、求特征值、解线性方程组以及求解行列式。
使用inv函数计算逆矩阵。
A = np.mat("0 1 2; 1 0 3; 4 -3 8")
print "A:\n", A
inverse = np.linalg.inv(A)
print "inverse of A:\n", inverse
print "check inverse:\n", inverse * A
A: [[ 0 1 2] [ 1 0 3] [ 4 -3 8]] inverse of A: [[-4.5 7. -1.5] [-2. 4. -1. ] [ 1.5 -2. 0.5]] check inverse: [[ 1. 0. 0.] [ 0. 1. 0.] [ 0. 0. 1.]]
行列式是与方阵相关的一个标量值。对于一个nn的实数矩阵,行列式描述的是一个线性变换对“有向体积”所造成的影响。行列式的值为正,表示保持了空间的定向(顺时针或逆时针),为负表示颠倒空间的定向。*numpy.linalg模块中的det函数可以计算矩阵的行列式。
A = np.mat("3 4; 5 6")
print "A:\n", A
print "Determinant:\n", np.linalg.det(A)
A: [[3 4] [5 6]] Determinant: -2.0
矩阵可以对向量进行线性变换,这对应于数学中的线性方程组。solve函数可以求解形如Ax = b的线性方程组,其中A是矩阵,b是一维或二维的数组,x是未知变量。
A = np.mat("1 -2 1; 0 2 -8; -4 5 9")
print "A:\n", A
b = np.array([0,8,-9])
print "b:\n", b
A: [[ 1 -2 1] [ 0 2 -8] [-4 5 9]] b: [ 0 8 -9]
x = np.linalg.solve(A, b)
print "Solution:\n", x
# check
print "Check:\n",b == np.dot(A, x)
print np.dot(A, x)
Solution: [ 29. 16. 3.] Check: [[ True True True]] [[ 0. 8. -9.]]
特征值(eigenvalue)即方程Ax = ax的根,是一个标量。其中,A是一个二维矩阵,x是一个一维向量。特征向量(eigenvector)是关于特征值的向量。在numpy.linalg模块中,eigvals函数可以计算矩阵的特征值,而eig函数可以返回一个包含特征值和对应特征向量的元组。
A = np.mat("3 -2; 1 0")
print "A:\n", A
print "Eigenvalues:\n", np.linalg.eigvals(A)
eigenvalues, eigenvectors = np.linalg.eig(A)
print "Eigenvalues:\n", eigenvalues
print "Eigenvectors:\n", eigenvectors
A: [[ 3 -2] [ 1 0]] Eigenvalues: [ 2. 1.] Eigenvalues: [ 2. 1.] Eigenvectors: [[ 0.89442719 0.70710678] [ 0.4472136 0.70710678]]
# check
# 计算 Ax = ax的左右两部分的值
for i in range(len(eigenvalues)):
print "Left:\n", np.dot(A, eigenvectors[:,i])
print "Right:\n", np.dot(eigenvalues[i], eigenvectors[:,i])
print
Left: [[ 1.78885438] [ 0.89442719]] Right: [[ 1.78885438] [ 0.89442719]] Left: [[ 0.70710678] [ 0.70710678]] Right: [[ 0.70710678] [ 0.70710678]]
SVD(Singular Value Decomposition,奇异值分解)是一种因子分解运算,将一个矩阵分解为3个矩阵的乘积。奇异值分解是特征值分解的一种推广。
在numpy.linalg模块中的svd函数可以对矩阵进行奇异值分解。该函数返回3个矩阵——U、Sigma和V,其中U和V是正交矩阵,Sigma包含输入矩阵的奇异值。
from IPython.display import Latex
Latex(r"$M=U \Sigma V^*$")
*号表示共轭转置
A = np.mat("4 11 14;8 7 -2")
print "A:\n", A
U, Sigma, V = np.linalg.svd(A, full_matrices=False)
print "U:\n", U
print "Sigma:\n", Sigma
print "V:\n", V
A: [[ 4 11 14] [ 8 7 -2]] U: [[-0.9486833 -0.31622777] [-0.31622777 0.9486833 ]] Sigma: [ 18.97366596 9.48683298] V: [[-0.33333333 -0.66666667 -0.66666667] [ 0.66666667 0.33333333 -0.66666667]]
# Sigma矩阵是奇异值矩阵对角线上的值
np.diag(Sigma)
array([[ 18.97366596, 0. ], [ 0. , 9.48683298]])
# check
M = U*np.diag(Sigma)*V
print "Product:\n", M
Product: [[ 4. 11. 14.] [ 8. 7. -2.]]
广义逆矩阵可以使用numpy.linalg模块中的pinv函数进行求解。inv函数只接受方阵作为输入矩阵,而pinv函数没有这个限制。
A = np.mat("4 11 14; 8 7 -2")
print "A:\n", A
A: [[ 4 11 14] [ 8 7 -2]]
pseudoinv = np.linalg.pinv(A)
print "Pseudo inverse:\n", pseudoinv
Pseudo inverse: [[-0.00555556 0.07222222] [ 0.02222222 0.04444444] [ 0.05555556 -0.05555556]]
# check
print "Check pseudo inverse:\n", A*pseudoinv
Check pseudo inverse: [[ 1.00000000e+00 0.00000000e+00] [ 8.32667268e-17 1.00000000e+00]]
得到的结果并非严格意义上的单位矩阵,但是非常近似。
A = np.mat("0 1 2; 1 0 3; 4 -3 8")
print "A:\n", A
inverse = np.linalg.inv(A)
print "inverse of A:\n", inverse
print "check inverse:\n", inverse * A
pseudoinv = np.linalg.pinv(A)
print "Pseudo inverse:\n", pseudoinv
print "Check pseudo inverse:\n", A*pseudoinv
A: [[ 0 1 2] [ 1 0 3] [ 4 -3 8]] inverse of A: [[-4.5 7. -1.5] [-2. 4. -1. ] [ 1.5 -2. 0.5]] check inverse: [[ 1. 0. 0.] [ 0. 1. 0.] [ 0. 0. 1.]] Pseudo inverse: [[-4.5 7. -1.5] [-2. 4. -1. ] [ 1.5 -2. 0.5]] Check pseudo inverse: [[ 1.00000000e+00 -2.66453526e-15 8.88178420e-16] [ 8.88178420e-16 1.00000000e+00 2.22044605e-16] [ 0.00000000e+00 3.55271368e-15 1.00000000e+00]]