Ejercicio 6: (Regresión y correlación)¶
Dada la difícil situación por la que atraviesa actualmente la empresa QUEMALAPATA en la que hemos empezado a trabajar, se propone la reducción de determinados gastos. Para ello se estudia la relación que existe entre dos variables como son: los gastos en publicidad (variable X) y los beneficios (variable Y). De ambas variables disponemos de los siguientes datos:¶
|
Año |
1993 |
1994 |
1995 |
1996 |
1997 |
|
Gastos en Publicidad (105 ptas) |
70 |
75 |
80 |
90 |
104 |
|
Beneficios (106 ptas) |
33 |
45 |
50 |
65 |
67 |
¿Se puede considerar que ambas variables guardan algún tipo de relación? ¿Cuál sería la variable dependiente y cuál la independiente?¶
Para ver si existe una dependencia entre ambas variables obtendremos la covarianza
In [5]:
#Importación de librerías para resolver los problemas.
%pylab inline
import pandas as pd
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
from scipy import stats
from __future__ import division
Populating the interactive namespace from numpy and matplotlib
In [99]:
Gastos = np.array([70, 75, 80, 90, 104])
Beneficios = np.array([330 , 450, 500, 650 ,670])
t = np.array([1993,1994,1995,1996,1997])
COV = np.cov(Gastos,Beneficios)
print('Covarianza = '+str(COV[1,0]))
Covarianza = 1787.5
Dado a que COV(X,Y) es postiva, hay dependencia directa, es decir, a grandes valores de x corresponden grandes valores de y
In [19]:
r_Pearson = stats.pearsonr(Gastos,Beneficios)
print('El coeficiente de correlación de Pearson es: '+str(round(r_Pearson[0],2)))
El coeficiente de correlación de Pearson es: 0.93
El valor del índice indica que existe una correlación positiva con una relación directa: cuando X aumenta, Y también lo hace en proporción constante.
Realizando un gráfico adecuado. ¿Se puede suponer que la relación que las liga es de tipo lineal?¶
Es necesario mirar gráficamente un conjunto de datos antes de analizarlos (ver Cuarteto de Asacombe)
In [27]:
plt.scatter(Gastos,Beneficios)
plt.title(u'Representación de datos')
plt.xlabel(u'Gastos en publicidad '+'$10^5 / pts$')
plt.ylabel('Beneficios '+'$10^5 / pts$')
Out[27]:
<matplotlib.text.Text at 0x13277438>
A la vista de los resultados, se puede intuir una relación lineal. No obstante en los siguientes pasos se calcularán
Construye las dos rectas de regresión mínimo cuadrática asociada con las variables.¶
In [81]:
x = Gastos
y = Beneficios
m, b, r_val, p_val, std_err = stats.linregress(x, y)
## En caso de quere una regresión de orden mayor
# fit, residuals, _,_,_ = np.polyfit(x,y,1,full=True)
fit_fn = np.poly1d([m,b]) # fit_fn es una funcion que coge X y estima Y
plt.plot(x,y, 'yo', x, fit_fn(x), '--k')
plt.xlim(65,110)
plt.title(u'Representación de datos Gastos vs Beneficios')
plt.xlabel(u'Gastos en publicidad '+'$10^5 / pts$')
plt.ylabel('Beneficios '+'$10^5 / pts$')
print('Valores de la recta | '+ 'm:'+str(round(m,2))+' b:'+str(round(b,2)))
print('R^2:'+str(round(r_val**2,3)))
Valores de la recta | m:9.81 b:-302.13 R^2:0.868
In [84]:
y = Gastos
x = Beneficios
m, b, r_val, p_val, std_err = stats.linregress(x, y)
## En caso de quere una regresión de orden mayor
# fit, residuals, _,_,_ = np.polyfit(x,y,1,full=True)
fit_fn = np.poly1d([m,b]) # fit_fn es una funcion que coge X y estima Y
plt.plot(x,y, 'yo', x, fit_fn(x), '--k')
plt.ylim(65,110)
plt.title(u'Representación de datos Gastos vs Beneficios')
plt.ylabel(u'Gastos en publicidad '+'$10^5 / pts$')
plt.xlabel('Beneficios '+'$10^5 / pts$')
print('Valores de la recta | '+ 'm:'+str(round(m,2))+' b:'+str(round(b,2)))
print('R^2:'+str(round(r_val**2,3)))
Valores de la recta | m:0.09 b:37.79 R^2:0.868
Si la empresa para el próximo año realizará un esfuerzo para poder invertir 11.500.000 ptas en publicidad. ¿Cuáles resultarían ser sus beneficios? ¿Con qué fiabilidad realizaría usted la predicción?¶
In [96]:
x = Gastos
y = Beneficios
m, b, r_val, p_val, std_err = stats.linregress(x, y)
inversion = 115
Benf_prox = m*inversion+b
print('Los beneficiones estimados serían de '+ str(int(round(Benf_prox,2)*1e5))+' pts')
print('Fiabilidad del '+str(int(r_val**2*100))+'%')
Los beneficiones estimados serían de 82609000 pts Fiabilidad del 86%
¿Cuáles resultarían ser sus beneficios si la predicción se efectúa considerando tan solo como variable explicativa el tiempo? ¿Cuál sería la fiabilidad de esta otra predicción? Comente los resultados.¶
In [101]:
x = t
y = Beneficios
m, b, r_val, p_val, std_err = stats.linregress(x, y)
inversion = 1998
Benf_prox = m*inversion+b
print('Los beneficiones estimados serían de '+ str(int(round(Benf_prox,2)*1e5))+' pts')
print('Fiabilidad del '+str(int(r_val**2*100))+'%')
Los beneficiones estimados serían de 78400000 pts Fiabilidad del 95%
Vamos a representar esta nueva relación
In [131]:
x = t
y = Beneficios
m, b, r_val, p_val, std_err = stats.linregress(x, y)
## En caso de quere una regresión de orden mayor
# fit, residuals, _,_,_ = np.polyfit(x,y,1,full=True)
fit_fn = np.poly1d([m,b]) # fit_fn es una funcion que coge X y estima Y
plt.xlim(1992,1998)
plt.plot(x,y, 'yo', x, fit_fn(x), '--k')
plt.title(u'Representación de datos de tiempo vs Beneficios')
plt.xlabel(u'tiempo / años')
plt.ylabel('Beneficios '+'$10^5 / pts$')
xticks=['1993','1994','1995','1996','1997']
plt.xticks(t,xticks)
print('Valores de la recta | '+ 'm:'+str(round(m,2))+' b:'+str(round(b,2)))
print('R^2:'+str(round(r_val**2,3)))
Valores de la recta | m:88.0 b:-175040.0 R^2:0.958
Un error muy común consiste en inferir que existe una relación causal entre dos o más eventos por haberse observado una correlación estadística entre ellos. Por ejemplo, viendo la relación de beneficios con el tiempo podríamos pensar que conforme pasan los años ganamos más pero esto es gracias a la inversión en publicidad y otros factores que no se han estudiado. Para saber más sobre este asunto Cum hoc ergo propter hoc