Ves dónde va esto... haremos la difusión en 2D ahora y en el próximo vamos a combinar los pasos 6 y 7 para resolver la ecuación de Burgers. Así que asegurate de que tus pasos anteriores funcionan bien antes de continuar.
Y aqui está la ecuación de difusión en 2D:
$$\frac{\partial u}{\partial t} = \nu \frac{\partial ^2 u}{\partial x^2} + \nu \frac{\partial ^2 u}{\partial y^2}$$Recordarás que se nos ocurrió un método para discretizar derivadas de segundo orden en el paso 3, concretamente en la investigación de la difusión en 1D. Vamos a utilizar el mismo esquema aquí, con nuestras diferencias hacia delante en el tiempo y dos derivadas de segundo orden.
Una vez más, reorganizamos la ecuación de datos discretos y resolvemos para $u_{i,j}^{n+1}$
%pylab inline
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
from mpl_toolkits.mplot3d import Axes3D ##library for 3d projection plots
from matplotlib import cm ##cm = "colormap" for changing the 3d plot color palette
### Declaración de variables
nx = 31
ny = 31
nt = 17
nu=.05
dx = 2.0/(nx-1)
dy = 2.0/(ny-1)
sigma = .25
dt = sigma*dx*dy/nu
x = np.linspace(0,2,nx)
y = np.linspace(0,2,ny)
u = np.ones((ny,nx)) ## crea un vector 1xn de unos
un = np.ones((ny,nx)) ##
### Asignar variables inciales
u[.5/dy:1/dy+1,.5/dx:1/dx+1]=2 ## establece función de sobrero como C.I. : u(.5<=x<=1 && .5<=y<=1 ) is 2
fig = plt.figure()
ax = fig.gca(projection='3d')
X,Y = np.meshgrid(x,y)
surf = ax.plot_surface(X,Y,u[:], rstride=1, cstride=1, cmap=cm.coolwarm,
linewidth=0, antialiased=False)
plt.show()
ax.set_xlim(1,2)
ax.set_ylim(1,2)
ax.set_zlim(1,2.5)
#ax.zaxis.set_major_locator(LinearLocator(5))
Populating the interactive namespace from numpy and matplotlib
(1, 2.5)
### Función que ejecuta la solución hasta un tiempo nt
def diffuse(nt):
u[.5/dy:1/dy+1,.5/dx:1/dx+1]=2
for n in range(nt+1):
un[:] = u[:]
u[1:-1,1:-1]=un[1:-1,1:-1]+nu*dt/dx**2*(un[2:,1:-1]-2*un[1:-1,1:-1]+un[0:-2,1:-1])+nu*dt/dy**2*(un[1:-1,2:]-2*un[1:-1,1:-1]+un[1:-1,0:-2])
u[0,:]=1
u[-1,:]=1
u[:,0]=1
u[:,-1]=1
fig = plt.figure()
ax = fig.gca(projection='3d')
surf = ax.plot_surface(X,Y,u[:], rstride=1, cstride=1, cmap=cm.coolwarm,
linewidth=0, antialiased=True)
ax.set_zlim(1,2.5)
plt.show()
diffuse(10)
diffuse(14)
diffuse(50)
La lección del vídeo que te lleva a través de los detalles de los pasos 5 al 8 es la Video Lesson 6 en You Tube:
from IPython.display import YouTubeVideo
YouTubeVideo('tUg_dE3NXoY')
from IPython.core.display import HTML
def css_styling():
styles = open("../styles/custom.css", "r").read()
return HTML(styles)
css_styling()
(La celda de arriba establece el formato de este notebook)