통계적 사고 (2판) 연습문제 (thinkstats2.com, think-stat.xwmooc.org)
Allen Downey / 이광춘(xwMOOC)

연습문제 6.1¶

소득 분포는 유명하게도 우측으로 기울어져 있다. 이번 연습문제에서, 이 치우침이 얼마나 강한지 측정할 것이다. 인구동향조사(Current Population Survey, CPS)는 노동통계국(Bureau of Labor Statistics)과 인구조사국(Census Bureau)의 공동작업으로 소득과 관련된 변수를 연구한다. 2013년에 수집된 데이터는 http://www.census.gov/hhes/www/cpstables/032013/hhinc/toc.htm%EC%97%90%EC%84%9C 다운로드 받을 수 있다. 저자는 가구소득 정보를 갖는 엑셀 파일 hinc06.xls 을 다운로드 받아서, 이책의 저장소에서 찾을 수 있는 CSV 파일 hinc06.csv로 변환했다. 이 CSV 파일을 불러읽는 hinc.py 파일도 함께 있다.

데이터셋은 소득구간과 해당 구간에 속하는 응답자수의 형태로 되어있다. 가장 낮은 구간은 "$5000 이하" 이하 연간소득을 신고한 응답자가 포함된다. 가장 높은 구간은 "$250,000 이상" 벌어들인 응답자가 포함된다.

이 데이터에서 평균과 다른 통계량을 추정하는데, 하한과 상한에 대해서, 그리고 각 구간에 값들이 어떻게 분포되었는지에 관해 가정을 해야한다. hinc2.py 파일에 InterpolateSample이 제공되는데, 데이터를 모형화하는 한 방법을 보여주고 있다. 각 구간에 대한 상한을 담고 있는 income 칼럼과 각 구간에 응답자수를 담고 있는 freq 칼럼을 갖는 데이터프레임을 인수로 받는다.

log_upper도 인수로 받는데, log10 달러로 표현되는 가장 소득이 높은 구간의 상한이다. 기본설정값 log_upper=6.0 인데 응답자 가운데에 가장 높은 소득이 106, 즉 백만불이라는 가정을 나타낸다.

InterpolateSample는 유사표본을 생성한다; 즉, 각 구간에서 실제 데이터와 같은 응답자수를 산출해내는 가구소득 표본이다. 각 구간 소득이 log10 척도로 균등분할됨을 가정한다.

결과로 나온 표본에 대해 중위수, 평균, 기울어짐, 피어슨 기울어짐을 계산하시오. 평균이하 세금을 매길 수 있는 소득이 있는 가구 비율은 얼마인가? 결과가 가정한 상한에 얼마나 의존하는가?

소득에 대한 왜도, 중위수, 평균, 표준편차와 피어슨 왜도를 계산하시오.

log_upper=7.0으로 조정한 분석결과.

더 높은 상한으로, 예상한 듯이 적률기반 왜도는 증가한다. 놀랍게도, 피어슨 왜도는 낮아진다! 이유는 아마도 상한을 높이는 것이 평균에 영향을 어느정도 미치고, 표준편차에 좀더 강한 효과를 미치는 것으로 보인다. 표준편차가 분모에 3승한 것이라, 결과에 더 강한 영향을 준다.

그래서, 이것이 피어슨 왜도가 요약통계량으로 잘 동작하지 않는 예제다. 더 나은 선택지는 문맥적으로 의미를 갖는 예를 들어 평균이하 소득을 갖는 비율같은 통계량이 된다. 혹은, (두 확률 집단에서 예상되는 상대적 차이같은) 분포의 특성을 계량화하려고 설계된 지니 계수같은 것이 된다.