A operação elementar $E_{uv,\alpha}$ é definida como a substituição da linha $u$ pela soma da linha $u$ com $\alpha$ vezes a linha $v$. Esta operação na matriz de coeficientes $A$ também pode ser obtida pela multiplicação de uma matriz $E$, à esquerda, pela matriz $A$. Diga qual é a matriz $E=(e_{ij})$.
Uma matriz quadrada $L = (l_{ij})$ é triangular inferior se $l_{ij}=0$ quando $i\lt j$ e $l_{ii}=1$. No exercício 1, qual deve ser a relação entre $u$ e $v$ de $E_{uv,\alpha}$ para que a matriz que representa esta operação seja triangular inferior. Qual é a inversa da matriz neste caso?
Mostre ou dê contra-exemplo das afirmações. O produto de duas matrizes quadradas triangular inferior é uma matriz quadrada triangular inferior. A inversa de uma matriz triangular inferior é triangular inferior.
Dizemos que uma matriz $A$ admite uma decomposição LU se existe uma matriz triangular inferior $L$ e uma matriz triangular superior $U$ (escalonada), tal que $A = LU$. Uma condição necessária e suficiente para que uma matriz admita uma decomposição LU é que $\det(A_k)\neq 0$ para todo $k\in \{1,\dots,n\}$ onde $A_k = (a_{ij})_{i\leq k,j\leq k}$. O método da eliminação de Gauss, quando realizado sem pivotação, dá uma maneira de encontrar a decomposição $LU$ da matriz $A$. É isso que vocês devem usar para fazer o programa abaixo
# Complete esta célula para definir a função
import numpy as np
def DecompLU(A):
''' Esta função devolve um par de matrizes L,U da decomposição LU de A se for possível, e devolve a matriz
A e matriz nula se não tiver decomposição LU '''
pass